以往的研究大都是研究宏觀參數(shù)，如壓力、溫度和物料的宏觀尺寸等對(duì)凍干過(guò)程熱傳遞的影響，物料微觀結(jié)構(gòu)的影響忽略不計(jì)或被簡(jiǎn)化，因此，只是對(duì)于均質(zhì)的液態(tài)物料和結(jié)構(gòu)單一固態(tài)物料比較適用。對(duì)于一般生物材料,凍干過(guò)程已干層多孔介質(zhì)實(shí)際上不是均勻的，而是具有分形的特點(diǎn)。然而分形多孔介質(zhì)中的擴(kuò)散已不再滿足歐式空間的Fick定律，擴(kuò)散速率較歐式空間減慢了，擴(kuò)散系數(shù)不是常數(shù)，與擴(kuò)散距離還有關(guān)。已干層分形特征如何確定，以及怎么影響凍干過(guò)程熱質(zhì)傳遞，都是有待研究的問(wèn)題。
從考慮生物材料的微觀結(jié)構(gòu)出發(fā)，根據(jù)已干層的顯微照片分析生物材料已干層多孔介質(zhì)的分形特性，確定已干層多孔介質(zhì)的分形維數(shù)和譜維數(shù)，推導(dǎo)分形多孔介質(zhì)中氣體擴(kuò)散方程，然后在1998年Sheehan和Liapis提出的非穩(wěn)態(tài)軸對(duì)稱模型的基礎(chǔ)上建立了考慮了已干層的分形特點(diǎn)的生物材料凍干過(guò)程熱質(zhì)傳遞的模型，即惰性氣體和水蒸氣在已干層中的連續(xù)方程采用的是分形多孔介質(zhì)中的擴(kuò)散方程，擴(kuò)散系數(shù)隨已干層厚度的增加呈指數(shù)下降。為了驗(yàn)證模型的正確性，以螺旋藻為研究對(duì)象，用Jacquin等的方法根據(jù)螺旋藻已干層的顯微照片確定螺旋藻已干層分形維數(shù)，用張東暉等人的方法求分形多孔介質(zhì)的譜維數(shù)。模型的求解借助Matlab和Fluent軟件，模擬了螺旋藻的凍干過(guò)程。
2.2.3.1分型多孔介質(zhì)中氣體擴(kuò)散方程的推導(dǎo)
通常流體的擴(kuò)散滿足Fick定律，固相中的擴(kuò)散也常常沿襲流體擴(kuò)散過(guò)程的處理方法。如果氣體的分子直徑自由程遠(yuǎn)大于微孔直徑，則分子對(duì)孔壁的碰撞要比分子之間的相互碰撞頻繁得多。其微孔內(nèi)的擴(kuò)散阻力主要來(lái)自分子對(duì)孔壁的碰撞，這就是克努森擴(kuò)散，傳統(tǒng)的凍干模型已干層中水蒸氣和惰性氣體的擴(kuò)散都是按傳統(tǒng)的歐氏空間的克努森擴(kuò)散處理的，但對(duì)于生物材料已干層中的孔隙一般都具有分形的特征，使氣體在其中的擴(kuò)散也具有分形的特點(diǎn)，下面從確定已干層分形特征入手，來(lái)推導(dǎo)已干層分形多孔介質(zhì)中的氣體擴(kuò)散方程。
2.2.3.2已干層多孔介質(zhì)結(jié)構(gòu)特性
生物材料凍干過(guò)程已干層多孔介質(zhì)的結(jié)構(gòu)特性是影響凍干過(guò)程傳熱傳質(zhì)的很重要的一個(gè)因素。當(dāng)孔隙具有分形特點(diǎn)時(shí), 多孔介質(zhì)中的熱質(zhì)傳遞不僅與為孔隙率有關(guān), 還與孔隙的大小和排列有關(guān)，與孔隙的分形維數(shù)和譜維數(shù)有關(guān)。
（1）孔隙率的確定 與計(jì)算機(jī)所產(chǎn)生的圖像不同，實(shí)驗(yàn)圖噪聲比較大，不便于直接利用軟件對(duì)圖像進(jìn)行數(shù)字處理。在分析圖像之前，需要恰當(dāng)?shù)靥幚韴D像，目的就是減少噪聲，使圖像主要信息表達(dá)更加清楚。利用 Matlab 圖像處理把彩色圖像轉(zhuǎn)換為黑白圖像（二值圖)時(shí)，要給出黑與白的分界值， 即像素的顏色閾值，低于閾值的像素定義為白色，代表孔隙，否則為黑色，代表固體物料。轉(zhuǎn)化工具為Mat-lab的im2bw命令。
圖2-18為螺旋藻已干層顯微照片，當(dāng)顏色閾值取0.35時(shí)，圖2-18對(duì)應(yīng)的二值圖如圖2-19所示，考慮到在顯微鏡下觀測(cè)螺旋藻已干層結(jié)構(gòu)時(shí)有一定的厚度，固體物料有重疊，為了使處理的圖像更接近實(shí)際結(jié)構(gòu)，這里閾值取偏小值0.35。在Matlab中二值圖是用1和0的邏輯矩陣存儲(chǔ)的，0為黑, 1為白，且很容易對(duì)矩陣進(jìn)行各種運(yùn)算。通過(guò)統(tǒng)計(jì)矩 0和1的數(shù)可得螺旋藻已干層孔隙率為0.83。
(2)分形維數(shù)的確定 多孔介質(zhì)孔隙分形維數(shù)的計(jì)算用常規(guī)的盒子法，即用等分的正方形網(wǎng)格覆蓋所讀人的圖像，網(wǎng)格單元的尺度為r。然后檢測(cè)每個(gè)網(wǎng)格單元中0和1的值，統(tǒng)計(jì)標(biāo)記為1的單元數(shù)N(r)。N(r)和1/r分別取成對(duì)數(shù)后，在以lnN(r)為Y軸坐標(biāo)，以In(l/r)為X軸的坐標(biāo)上產(chǎn)生一個(gè)點(diǎn)，從兩個(gè)像素開始，以一個(gè)像素為步長(zhǎng)逐步增加，對(duì)應(yīng)每一個(gè)r值，重復(fù)上述過(guò)程，得到一系列這樣的點(diǎn)，再根據(jù)這些點(diǎn)擬合成一直線，其斜率即為分形維數(shù)。為了減小計(jì)算量，取圖2-18—小部分進(jìn)行計(jì)算,選中的小圖對(duì)應(yīng)的二值圖2-19所示。按這種方法計(jì)算的圖2-20的所示多孔介質(zhì)的分形維數(shù)的結(jié)果見圖2-21,圖中離散點(diǎn)用上述方法得到, 計(jì)算中,覆蓋網(wǎng)格分別取5X5～14X14。回歸直線方程為
相關(guān)系數(shù)為0.99628，其斜率即孔隙分形維數(shù)df= l. 722。
(3)譜維數(shù)的確定 Anderson等通過(guò)分形網(wǎng)格的模擬，得到時(shí)間t內(nèi)，物質(zhì)粒子所訪問(wèn)過(guò)的不同格子數(shù)Din(t)與譜維數(shù)d存在下述關(guān)系：
根據(jù)此式，就可以計(jì)算得到分形結(jié)構(gòu)的譜維數(shù)d。具體過(guò)程為從分形結(jié)構(gòu)中某一孔隙格子處發(fā)出一個(gè)物質(zhì)粒子，物質(zhì)粒子在分形結(jié)構(gòu)中的孔隙中各自隨機(jī)行走，計(jì)算時(shí)采用近似的螞蟻行走模型。如果行走到的格子以前沒(méi)有訪問(wèn)過(guò)，那么就在獨(dú)立訪問(wèn)過(guò)的格子數(shù)總和中加1[Din(t)=Din(t)+1]; 如果行走到的格子以前訪問(wèn)過(guò)，那么就在訪問(wèn)過(guò)的格子數(shù)總和中加 1(Null=Null+1)；如果行走碰到分形結(jié)構(gòu)的邊界，那么行走終止，再在上面初始處發(fā)出一個(gè)物質(zhì)粒子，由于是隨機(jī)行走，此粒子的行走軌跡與剛才是不同的，最后對(duì)某時(shí)刻Din(t)求平均值，得到一組[Din(t),t]對(duì)應(yīng)值，取對(duì)數(shù)坐標(biāo)，可以看到兩者是直線關(guān)系，由式(2-91)可知，直線的斜率就是d/2。譜維數(shù)與孔隙分形維數(shù)有很大關(guān)聯(lián)，孔隙分形維數(shù)越小，意味著分形結(jié)構(gòu)中孔隙的比例少，相同時(shí)間內(nèi)，粒子行走越狹窄，重復(fù)過(guò)的彎路越多，其所經(jīng)過(guò)的不同格子數(shù)越少，那么譜維數(shù)也就相應(yīng)小一些。對(duì)于孔隙分形維數(shù)相同的分形結(jié)構(gòu)，如果孔隙分布排列不一樣，兩者之間的譜維數(shù)值一定也會(huì)有差別。
從圖2-20分形多孔介質(zhì)中孔隙部分任取一點(diǎn)，依次發(fā)出1000個(gè)物質(zhì)粒子，覆蓋網(wǎng)格重40x40,由上面的測(cè)定方法統(tǒng)計(jì)計(jì)算的結(jié)果見圖2-22中的離散點(diǎn)，回歸直線方程為：
直線斜率為0.67405，從而可得孔隙的譜維數(shù)d=1.348。
2.2.3.3分型多孔介質(zhì)中的擴(kuò)散系數(shù)
擴(kuò)散系數(shù)的實(shí)質(zhì)是單位時(shí)間粒子所傳輸?shù)目臻g，在普通擴(kuò)散過(guò)程中，隨機(jī)行走的平均平方距離與時(shí)間成正比的關(guān)系：
式中，<r2(t)>為隨機(jī)行走的平均平方距離。在分形多孔介質(zhì)中，由張東暉等人的研究可知，平均平方距離和時(shí)間存在指數(shù)關(guān)系，
α被稱為與分形布朗運(yùn)動(dòng)相關(guān)聯(lián)的行走維數(shù)，Orbach等發(fā)現(xiàn)
由此也可看到：譜維數(shù)是分形介質(zhì)靜態(tài)結(jié)構(gòu)和動(dòng)態(tài)特性的一個(gè)中間橋梁。
在處理具有分形特征介質(zhì)的擴(kuò)散系數(shù)時(shí)，一般都是在普通的擴(kuò)散系數(shù)上加上分形特征的修正，由張東暉等人的模擬結(jié)果可知，分形多孔介質(zhì)中的擴(kuò)散系數(shù)已不是常數(shù)，而是隨徑向距離的增大而呈指數(shù)下降：
式中，D。為歐氏空間的擴(kuò)散系數(shù)；Ddf為分形結(jié)構(gòu)中的擴(kuò)散系數(shù)；r為擴(kuò)散的距離；θ為分形指數(shù)，與多孔介質(zhì)分形維數(shù)df和譜維數(shù)d有關(guān)，由張東暉等人的推導(dǎo)可知θ=2(df-d)/d。這實(shí)際表明：在分形結(jié)構(gòu)中隨著擴(kuò)散徑向距離的增大，擴(kuò)散變得越來(lái)越困難，這是由于分形結(jié)構(gòu)孔隙分布的不均勻性造成的。
